Appendix E 球面調和関数

やはり地球科学たるもの、球面調和関数くらいは知っておきたいところである。しかしその前に準備として、Legendre多項式やLegendre陪関数も知っておかなければならない。

E.1 準備その1: Legendre多項式 (Legendre関数)

Legendre多項式 (Legendre polynomial) は、区間 $-1\leq{x}\leq 1$ で定義された直交多項式であり、球対称性をもつ体系について偏微分方程式を解く際によく登場する。

E.1.1 母関数による定義

$|t|<1$ かつ $|x|\leq 1$ に対して

g(t,x)\equiv\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^{2}}}

(E.1)

と関数 $g(t,x)$ を定義する。この関数を

g(t,x)=\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}(x)}t^{n}

(E.2)

のように $t$ についてのべき級数に展開したとする。このとき $t$ のべき乗の展開係数として登場する関数 $P_{n}(x)$ をLegendre多項式という。 (ちなみに $g(t,x)$ は母関数と呼ばれる。)

式(E.1)の意味を考えるため、2次元デカルト座標系において原点 O から $x$ 軸方向に $a$ だけずれた位置にある点Qと任意の点Pとの距離 $l$ を考える。点Pの座標を $(X,Y)$ と書き、かつ2次元極座標を用いて

X=r\cos\theta,\quad Y=r\sin\theta

と書くことにすると、 $1/l$ は

	$\displaystyle\frac{1}{l}$	$\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{(X-a)^{2}+Y^{2}}}$
		$\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{r^{2}-2ar\cos\theta+a^{2}}}=\frac{1}{r}\frac{1}{% \sqrt{1-2(a/r)\cos\theta+(a/r)^{2}}}$		(E.3)

と与えられる。これは式(E.1)において、 $t\to{a/r}$ かつ $x\to\cos\theta$ と置き換えたものにほかならない。

E.1.2 Legendre多項式の表式

Legendre多項式をあらわに書き下すと、その表式は

	$\displaystyle P_{n}(x)$	$\displaystyle=\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k}}{k!}\frac{(2n-2k% )!}{(n-2k)!(n-k)!}x^{n-2k}$		(E.4)
		$\displaystyle=\frac{1}{2^{n}{n!}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n}$		(E.5)

などと書ける。ここで $[n/2]$ は $n/2$ を超えない整数を意味する。なお式(E.5)は「ロドリグの公式」とも呼ばれる。

E.1.3 Legendre 多項式の漸化式

以下の3つが基本的なものであろう。

	$\displaystyle(2n+1)x{P_{n}(x)}=(n+1){P_{n+1}(x)}+n{P_{n-1}(x)}$		(E.6)
	$\displaystyle\left[(1-x^{2})\frac{d}{dx}-(n+1)x\right]{P_{n}(x)}=-(n+1){P_{n+1% }(x)}$		(E.7)
	$\displaystyle\left[(1-x^{2})\frac{d}{dx}+nx\right]{P_{n}(x)}=n{P_{n-1}(x)}$		(E.8)

ここで、式(E.7)や(E.8)の左辺 $[\phantom{あ}]$ 中の演算子は、 $P_{n}(x)$ の次数 $n$ を上げたり下げたりする役割をしていることから、昇降演算子と呼ばれることがある。これらの漸化式は、母関数の定義式(E.1)と(E.2)から容易に導かれる。式(E.1)と(E.2)を $t$ で偏微分すると

	$\displaystyle\frac{\partial{g}}{\partial{t}}$	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial{t}}\left(1-2tx+t^{2}\right)^{-1/2}={g}% \frac{x-t}{1-2tx+t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}(x)}t^{n}\frac{x-t}{1-2tx+t^{% 2}}$
	$\displaystyle\frac{\partial{g}}{\partial{t}}$	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial{t}}\left[\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}(x)}t% ^{n}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}n{P_{n}(x)}t^{n-1}$

この両者が等しいことから

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}n{P_{n}}t^{n-1}-\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}}t^{% n}\frac{x-t}{1-2tx+t^{2}}$
		$\displaystyle=\frac{1}{1-2tx+t^{2}}\left[\sum_{n=0}^{\infty}n{P_{n}}t^{n-1}(1-% 2tx+t^{2})-\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}}t^{n}(x-t)\right]$
		$\displaystyle=\frac{1}{1-2tx+t^{2}}\left[\sum_{n=0}^{\infty}(n{P_{n}}t^{n-1}-2% n{x}{P_{n}}t^{n}+n{P_{n}}t^{n+1})-\sum_{n=0}^{\infty}({x}{P_{n}}t^{n}-{P_{n}}t% ^{n+1})\right]$
		$\displaystyle=\frac{1}{1-2tx+t^{2}}\left[\sum_{k=-1}^{\infty}(k+1){P_{k+1}}t^{% k}-\sum_{n=0}^{\infty}2n{x}{P_{n}}t^{n}+\sum_{k=1}^{\infty}(k-1){P_{k-1}}t^{k}% -\sum_{n=0}^{\infty}{x}{P_{n}}t^{n}+\sum_{k=1}^{\infty}{P_{k-1}}t^{k}\right]$
		$\displaystyle=\frac{1}{1-2tx+t^{2}}\sum_{n}\left[(n+1){P_{n+1}}-(2n+1){x}{P_{n% }}+n{P_{n-1}}\right]t^{n}$

これが任意の $t$ について成り立つことから式(E.6)が得られる。同様にこれらを $x$ で偏微分すると

	$\displaystyle\frac{\partial{g}}{\partial{x}}$	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial{x}}\left(1-2tx+t^{2}\right)^{-1/2}=g% \frac{t}{1-2tx+t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}(x)}t^{n}\frac{t}{1-2tx+t^{2}}$
	$\displaystyle\frac{\partial{g}}{\partial{x}}$	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial{x}}\left[\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}(x)}t% ^{n}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d{P_{n}(x)}}{d{x}}t^{n}$

この両者が等しいことから

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d{P_{n}(x)}}{d{x}}t^{n}-\sum_{n=0}^{% \infty}{P_{n}(x)}t^{n}\frac{t}{1-2tx+t^{2}}$
		$\displaystyle=\frac{t}{1-2tx+t^{2}}\left[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d{P_{n}(x)}}% {d{x}}\frac{1-2tx+t^{2}}{t}t^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}(x)}t^{n}\right]$
		$\displaystyle=\frac{t}{1-2tx+t^{2}}\left[\sum_{n=-1}^{\infty}\frac{d{P_{n+1}(x% )}}{d{x}}t^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d{P_{n}(x)}}{d{x}}2{x}t^{n}+\sum_{n=1}% ^{\infty}\frac{d{P_{n-1}(x)}}{d{x}}t^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}{P_{n}(x)}t^{n}\right]$
		$\displaystyle=\frac{t}{1-2tx+t^{2}}\sum_{m}\left[\frac{d{P_{n+1}(x)}}{d{x}}-% \frac{d{P_{n}(x)}}{d{x}}2{x}+\frac{d{P_{n-1}(x)}}{d{x}}-{P_{n}(x)}\right]t^{n}$

これが任意の $t$ について成り立つことから

{P^{\prime}_{n+1}(x)}-2x{P^{\prime}_{n}(x)}+{P^{\prime}_{n-1}(x)}={P_{n}(x)}

(E.9)

なる漸化式も得られる。さらに式(E.6)の両辺を $x$ で微分すると

(2n+1)\left[x{P^{\prime}_{n}(x)}+{P_{n}(x)}\right]=(n+1){P^{\prime}_{n+1}(x)}+% n{P^{\prime}_{n-1}(x)}

(E.10)

であるが、これを用いて(E.9)から $P^{\prime}_{n+1}$ あるいは $P^{\prime}_{n-1}$ を消去して整理すると、

	$\displaystyle{P^{\prime}_{n+1}(x)}-{x}{P^{\prime}_{n}(x)}=(n+1){P_{n}(x)}$		(E.11)
	$\displaystyle x{P^{\prime}_{n}(x)}-{P^{\prime}_{n-1}(x)}=n{P_{n}(x)}$		(E.12)

式(E.11)で $n\to{n-1}$ と置き換えた式と式(E.12)から ${P^{\prime}_{n-1}(x)}$ を消去すると式(E.8)が得られる。さらに式(E.6)と(E.8)から $P_{n-1}(x)$ を消去すると式(E.7)が得られる。

E.1.4 Legendre多項式の直交性と完全性

Legendre関数は次の直交性を満たす。

\int_{-1}^{1}{P_{m}(x)}{P_{n}(x)}dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}

(E.13)

加えて、Legendre関数 $P_{n}(x)$ は $-1\leq{x}\leq 1$ の区間で完全系をなす。すなわち $-1\leq{x}\leq 1$ の区間で定義された任意の関数 $f(x)$ を

f(x)=\sum_{n}{c_{n}}{P_{n}(x)}

(E.14)

と展開でき、かつ係数 $c_{n}$ は

c_{n}=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)P_{n}(x)dx

(E.15)

により求められる。

E.1.5 Legendreの微分方程式

Legendre関数は次の微分方程式を満たす。

\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{d{P_{n}(x)}}{dx}\right]+n(n+1){P_{n}(x)}=0

(E.16)

式(E.16)を「Legendreの微分方程式」という。ここで、 $x=\cos\theta$ ( $dx=-\sin\theta{d\theta}$ ) と変数変換すると

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=-\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{d}{d\theta}\left[-(1-\cos^{2}\theta% )\frac{1}{\sin\theta}\dfrac{d{P_{n}}}{d\theta}\right]+n(n+1){P_{n}}$		(E.17)
		$\displaystyle=\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{d}{d\theta}\left[\sin\theta\dfrac{d{% P_{n}}(\cos\theta)}{d\theta}\right]+n(n+1){P_{n}}(\cos\theta)$		(E.18)

E.1.6 Legendre多項式の用途の例: 軸対称性をもつ3次元極座標系におけるラプラス方程式の変数分離解

3次元球座標系でスカラー量 $f$ のラプラス方程式は

0=\nabla^{2}{f}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial{r}}\left(r^{2}\frac{% \partial{f}}{\partial{r}}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{\sin\theta}\frac{% \partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial{f}}{\partial\theta}% \right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}{f}}{\partial% \phi^{2}}

のように書ける。以下では、経度 $\phi$ の方向に一様 ( $\partial/\partial\phi=0$ ) である場合に限定し、かつこれに

{f(r,\theta,\phi)}=\sum_{n}{R_{n}(r)}{P_{n}}(\cos\theta)

という形 (変数分離形という) を仮定して代入すると、

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\sum_{n}\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{d{r}}\left(r^{2}\frac{d{R_{n}}}{% d{r}}\right){P_{n}}+\sum_{n}\frac{1}{r^{2}}\underbrace{\frac{1}{\sin\theta}% \frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d{P_{n}}}{d\theta}\right)}_{\equiv{-n(n% +1){P_{n}}}}{R_{n}}$
		$\displaystyle=\sum_{n}\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1}{R_{n}}\frac{d}{d{r}}\left(% r^{2}\frac{d{R_{n}}}{d{r}}\right)-n(n+1)\right]{R_{n}}{P_{n}}$

これが全ての $r$ 、 $\theta$ で成り立つためには、

0=\frac{1}{R_{n}}\frac{d}{d{r}}\left(r^{2}\frac{d{R_{n}}}{d{r}}\right)-n(n+1)

でなければならない。そのためには、 $c_{n}$ を定数として、

R_{n}={c_{n}}{r^{n}}\quad\text{あるいは}\quad R_{n}={c_{n}}{r^{-(n+1)}}

地球惑星の外部を考える際には、解は $r\to\infty$ で有界であるべきだから

f_{(r,\theta,\phi)}=\sum_{n}{c_{n}}{r^{-(n+1)}}{P_{n}(\cos\theta)}

のように変数分離解が与えられる。

E.2 準備その2: Legendre陪関数

E.2.1 Legendre陪関数の表式

Legendre陪関数 $P_{n}^{m}(x)$ は、Legendre関数 $P_{n}(x)$ を微分したものに相当する。

P_{n}^{m}(x)=\frac{1}{{2^{n}}{n!}}(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^{2% }-1)^{n}

(E.19)

ただし $m$ のとりうる範囲として意味があるのは、 $-n\leq{m}\leq{n}$ に限られる。また Numerical Recipes in Fortran など別の資料では、 $(-1)^{m}$ という因子を含めているなど、式(E.19) とは異なる定義がされていることもあることにも注意が必要である。

$P_{n}^{m}(x)$ は以下のような性質をもつ。

$\displaystyle P_{n}^{m=0}(x)$	$\displaystyle=P_{n}(x)$	(E.20)
$\displaystyle P_{n}^{m=n}(x)$	$\displaystyle=\frac{(2n)!}{{2^{n}}{n!}}(1-x^{2})^{n/2}$	(E.21)
$\displaystyle P_{n}^{m\geq 0}(x)$	$\displaystyle=(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}{P_{n}}(x)$	(E.22)
$\displaystyle P_{n}^{-m}$	$\displaystyle=(-1)^{m}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}{P_{n}^{m}}(x)$	(E.23)

E.2.2 Legendre 陪関数の漸化式

次数 $n$ は同じで陪数 $m$ が異なるものを結ぶ漸化式として、例えば以下のようなものがある。

	$\displaystyle\left[(1-x^{2})\frac{d}{dx}+mx\right]{P_{n}^{m}(x)}$	$\displaystyle=\sqrt{1-x^{2}}{P_{n}^{m+1}(x)}$		(E.24)
	$\displaystyle\left[(1-x^{2})\frac{d}{dx}-mx\right]{P_{n}^{m}(x)}$	$\displaystyle=-(n+m)(n-m+1)\sqrt{1-x^{2}}{P_{n}^{m-1}(x)}$		(E.25)

これらは(E.22)や(E.23)式から容易に導かれる。具体的には

	$\displaystyle\frac{d}{dx}{P_{n}^{m}(x)}$	$\displaystyle=\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}{P_{n}(x)}\right]$
		$\displaystyle=(1-x^{2})^{m/2}\frac{m}{2}\frac{-2x}{1-x^{2}}\frac{d^{m}}{dx^{m}% }{P_{n}(x)}+(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}{P_{n}(x)}$
		$\displaystyle=\frac{1}{1-x^{2}}\left[-m{x}(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}{% P_{n}(x)}+(1-x^{2})^{1/2}(1-x^{2})^{(m+1)/2}\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}{P_{n}(x)}\right]$
		$\displaystyle=\frac{1}{1-x^{2}}\left[-m{x}{P_{n}^{m}(x)}+\sqrt{1-x^{2}}{P_{n}^% {m+1}(x)}\right]$

であるが、これを書き直せば(E.24)式が得られる。さらに(E.24)式で $m\to-m$ と入れ換えてみると

\left[(1-x^{2})\frac{d}{dx}-mx\right]{P_{n}^{-m}(x)}=\sqrt{1-x^{2}}{P_{n}^{-m+% 1}(x)}

かつ(E.23)式から

\begin{split}P_{n}^{-m}&=(-1)^{m}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}{P_{n}^{m}}(x)\\ P_{n}^{-m+1}=P_{n}^{-{(m-1)}}&=(-1)^{m-1}\frac{(n-m+1)!}{(n+m-1)!}{P_{n}^{m-1}% }(x)\end{split}

であることより

\left[(1-x^{2})\frac{d}{dx}-mx\right](-1)^{m}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}{P_{n}^{m}}(% x)=\sqrt{1-x^{2}}(-1)^{m-1}\frac{(n-m+1)!}{(n+m-1)!}{P_{n}^{m-1}}(x)

これを整理すると(E.25)式が得られる。またこれら2式の差をとって整理すると

{P_{n}^{m+1}(x)}-\frac{2mx}{\sqrt{1-x^{2}}}{P_{n}^{m}(x)}+(n+m)(n-m+1){P_{n}^{% m-1}(x)}=0

(E.26)

のように、微分を含まない3項漸化式も得られる。

さらに、陪数 $m$ は同じで次数 $n$ が異なるものを結ぶ漸化式の例の1つとして、

(n-m+1){P_{n+1}^{m}(x)}-(2n+1)x{P_{n}^{m}(x)}+(n+m){P_{n-1}^{m}(x)}=0

(E.27)

が挙げられる。この漸化式は式(E.6)と(E.11)、および式 (E.22)より導かれる。まず式(E.11)の両辺に $d^{m-1}/dx^{m-1}$ を作用させてみると

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}\left[{P^{\prime}_{n+1}(x)}-{x}{P^{% \prime}_{n}(x)}-(n+1){P_{n}(x)}\right]$
		$\displaystyle=\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}\frac{d{P_{n+1}(x)}}{dx}-\frac{d^{m-1}}{% dx^{m-1}}\left[{x}\frac{d{P_{n}(x)}}{dx}\right]-(n+1)\frac{d^{m-1}{P_{n}(x)}}{% dx^{m-1}}$
		$\displaystyle=\frac{d^{m}{P_{n+1}(x)}}{dx^{m}}-x\frac{d^{m}{P_{n}(x)}}{dx^{m}}% -(m-1)\frac{d^{m-1}{P_{n}(x)}}{dx^{m-1}}-(n+1)\frac{d^{m-1}{P_{n}(x)}}{dx^{m-1}}$
		$\displaystyle=\frac{d^{m}{P_{n+1}(x)}}{dx^{m}}-x\frac{d^{m}{P_{n}(x)}}{dx^{m}}% -(n+m)\frac{d^{m-1}{P_{n}(x)}}{dx^{m-1}}$
		$\displaystyle=(1-x^{2})^{-m/2}\left\{{P_{n+1}^{m}(x)}-x{P_{n}^{m}(x)}-(n+m)(1-% x^{2})^{1/2}{P_{n}^{m-1}(x)}\right\}$

いっぽう、式(E.6)の両辺に $d^{m}/dx^{m}$ を作用させてみると

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left[(n+1){P_{n+1}(x)}+n{P_{n-1}(x)}-(2n+1)% x{P_{n}(x)}\right]$
		$\displaystyle=(n+1)\frac{d^{m}{P_{n+1}(x)}}{dx^{m}}+n\frac{d^{m}{P_{n-1}(x)}}{% dx^{m}}-(2n+1)\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left[x{P_{n}(x)}\right]$
		$\displaystyle=(n+1)\frac{d^{m}{P_{n+1}(x)}}{dx^{m}}+n\frac{d^{m}{P_{n-1}(x)}}{% dx^{m}}-(2n+1)\left[x\frac{d^{m}{P_{n}(x)}}{dx^{m}}+m\frac{d^{m-1}{P_{n}(x)}}{% dx^{m-1}}\right]$
		$\displaystyle=(n+1)\frac{d^{m}{P_{n+1}(x)}}{dx^{m}}+n\frac{d^{m}{P_{n-1}(x)}}{% dx^{m}}-(2n+1)x\frac{d^{m}{P_{n}(x)}}{dx^{m}}-(2n+1)m\frac{d^{m-1}{P_{n}(x)}}{% dx^{m-1}}$
		$\displaystyle=(1-x^{2})^{-m/2}\left\{(n+1){P_{n+1}^{m}(x)}+n{P_{n-1}^{m}(x)}-(% 2n+1)x{P_{n}^{m}(x)}-(2n+1)m(1-x^{2})^{1/2}{P_{n}^{m-1}(x)}\right\}$

であるから

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle={P_{n+1}^{m}(x)}-x{P_{n}^{m}(x)}-(n+m)(1-x^{2})^{1/2}{P_{n}^{m-1% }(x)}$
	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=(n+1){P_{n+1}^{m}(x)}+n{P_{n-1}^{m}(x)}-(2n+1)x{P_{n}^{m}(x)}-(2% n+1)m(1-x^{2})^{1/2}{P_{n}^{m-1}(x)}$

がいえる。この両式を用いて ${P_{n}^{m-1}(x)}$ を消去すると式(E.27)が得られる。

E.2.3 Legendreの陪微分方程式

Legendre陪関数は次の微分方程式を満たす。

\dfrac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\dfrac{d{P_{n}^{m}}(x)}{dx}\right]+\left[n(n+1)-% \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]{P_{n}^{m}}(x)=0

(E.28)

これを「Legendreの陪微分方程式」という。

ここで、 $x=\cos\theta$ ( $dx=-\sin\theta{d\theta}$ ) と変数変換すると

0=\left[\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\dfrac{d}{d% \theta}\right)+n(n+1)-\frac{m^{2}}{\sin^{2}\theta}\right]{P_{n}^{m}}(\cos\theta)

(E.29)

を得る。

E.2.4 Legendre陪関数の用途の例: 3次元極座標系におけるラプラス方程式の変数分離解

3次元球座標系でスカラー量 $f$ のラプラス方程式に

{f(r,\theta,\phi)}=\sum_{n,m}{R_{n}^{m}(r)}{P_{n}^{m}}(\cos\theta)\exp(im\phi)

という形 (変数分離形という) を仮定して代入・整理すると

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\sum_{n,m}\dfrac{1}{r^{2}}\exp(-im\phi)\times\left\{\begin{array% }[]{l}+\dfrac{d}{d{r}}\left(r^{2}\dfrac{d{R_{n}^{m}}}{d{r}}\right){P_{n}^{m}}% \\ +{R_{n}^{m}}\underbrace{\left[\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{d}{d\theta}\left(% \sin\theta\dfrac{d}{d\theta}\right)-\dfrac{m^{2}}{\sin^{2}\theta}\right]{P_{n}% ^{m}}}_{=-n(n+1){P_{n}^{m}}}\end{array}\right\}$
		$\displaystyle=\sum_{n,m}\dfrac{1}{r^{2}}\left[\dfrac{1}{R_{n}^{m}}\dfrac{d}{d{% r}}\left(r^{2}\dfrac{d{R_{n}^{m}}}{d{r}}\right)-n(n+1)\right]{R_{n}^{m}}{P_{n}% ^{m}}\exp(-im\phi)$

これが全ての $r$ 、 $\theta$ 、 $\phi$ で成り立つためには、

0=\frac{1}{R_{n}^{m}}\frac{d}{d{r}}\left(r^{2}\frac{d{R_{n}^{m}}}{d{r}}\right)% -n(n+1)

でなければならない。そのためには、 $c_{n}^{m}$ を定数として、

R_{n}^{m}={c_{n}^{m}}{r^{n}}\quad\text{あるいは}\quad R_{n}^{m}={c_{n}^{m}}{r^{-(n% +1)}}

地球惑星の外部を考える際には、解は $r\to\infty$ で有界であるべきだから

f_{(r,\theta,\phi)}=\sum_{n,m}{c_{n}^{m}}{r^{-(n+1)}}{P_{n}^{m}(\cos\theta)}% \exp(im\phi)

のように変数分離解が与えられる。

E.2.5 Legenrde 陪関数の直交性

$m$ を一定とすると、 $P_{n}^{m}$ は $n$ に関して次のような直交性をもつ。

\int_{-1}^{1}{P_{n}^{m}}(x){P_{n^{\prime}}^{m}}(x)dx=\frac{2}{2n+1}\frac{(n+m)% !}{(n-m)!}\delta{nn^{\prime}}

(E.30)

E.3 準備その3: 完全正規化されたLegendre陪関数

ここまでで定義したルジャンドル陪関数では、( $n$ や) $m$ が大きくなると、関数の値が大きくなり過ぎてしまうのが不便である。そこで、これを避けるようにルジャンドル陪関数を「正規化」したものがいくつか提案されている。

その1つが「完全正規化されたルジャンドル陪関数」 $\overline{P}_{nm}$ であり、以下のように定義されている。

\overline{P}_{nm}=\begin{cases}\sqrt{2n+1}{P_{n}^{m}}&(m=0のとき)\\ \sqrt{2(2n+1)\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}}P_{n}^{m}&(m>0のとき)\end{cases}

(E.31)

あるいは、

c_{m}=\begin{cases}2&(m=0のとき)\\ 1&(m=1,2,3,\ldots のとき)\end{cases}

(E.32)

という係数 $c_{m}$ を用いて

\overline{P}_{nm}=\sqrt{\dfrac{2(2n+1)}{c_{m}}\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}}P_{n}^{m}

(E.33)

と書くこともできる。なおこの $c_{m}$ は $\cos$ の直交関係に由来しているもので、実際

\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}{m\phi}d\phi={c_{m}}\pi=\begin{cases}2\pi&(m=0のとき)\\ \pi&(m=1,2,3,\ldots のとき)\end{cases}

であることが確認できる。

$m$ を一定とすると、 $\overline{P}_{nm}$ は $n$ に関して次のような直交性をもつ。

\int_{-1}^{1}{\overline{P}_{nm}}(x){\overline{P}_{n^{\prime}m}}(x)dx=\frac{4}{% c_{m}}\delta_{nn^{\prime}}=\begin{cases}2\delta_{nn^{\prime}}&(m=0のとき)\\ 4\delta_{nn^{\prime}}&(m>0のとき)\\ \end{cases}

(E.34)

ここで用いた「正規化」は、次に登場する球面調和関数の定義で用いられているものとも異なることに注意。

E.4 球面調和関数の定義と性質

球面調和関数 (あるいは球面関数) $Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)$ は Legendre 陪関数 $P_{\ell}^{m}$ と指数関数を用いて

Y_{\ell}{{}^{m}}(\theta,\phi)=\sqrt{\dfrac{2\ell+1}{4\pi}\dfrac{(\ell-m)!}{(% \ell+m)!}}P_{\ell}^{m}(\cos\theta)\exp(im\phi)

(E.35)

により定義される (位相因子 $(-1)^{m}$ をつける流儀もあり)。ここで $\theta$ は補緯度、 $\phi$ は経度である。添字の $\ell$ (degree) と $m$ (order) は整数であって、 ${\ell}\geq{0}$ かつ ${-\ell}\leq{m}\leq{\ell}$ に限られる。式(E.35)内のLegendre陪関数 $P_{\ell}^{m}(\cos\theta)$ は Legendre 多項式 $P_{\ell}(\cos\theta)=P_{\ell}^{0}(\cos\theta)$ から

$\displaystyle P_{\ell}(\cos\theta)$	$\displaystyle=\frac{1}{2^{\ell}\,\ell!}\frac{d^{\ell}}{d(\cos\theta)^{\ell}}(% \cos^{2}\theta-1)^{\ell}$	(E.36)
$\displaystyle P_{\ell}^{m}(\cos\theta)$	$\displaystyle=(-\sin\theta)^{m}\frac{d^{m}P_{\ell}(\cos\theta)}{d(\cos\theta)^% {m}},\quad(\text{for }{0}\leq{m}\leq{\ell})$	(E.37)
$\displaystyle P_{\ell}^{-m}(\cos\theta)$	$\displaystyle=(-1)^{m}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}P_{\ell}^{m}(\cos\theta)$	(E.38)

$\ell$ と $m$ について、

•

$2m$ は、 $Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)=0$ を満たす $\phi$ の数を表す。
•

$\ell-m$ は、 $Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)=0$ を満たす $\theta$ の数を表す。

この定義によれば、 $\ell=0,1,2,3$ に対する $Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)$ の具体的な関数形は次のようになる。

$\ell$	$P_{\ell}(\cos\theta)$	$P_{\ell}^{m}$	$Y_{\ell}^{m}$
$0$	$1$	$P_{0}^{0}=1$	$Y_{0}^{0}=\frac{1}{4\pi}$
$1$	$\cos\theta$	$P_{1}^{-1}=\frac{1}{2}\sin\theta$	$Y_{1}^{-1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}\sin\theta\exp(-i\phi)$
		$P_{1}^{0}=\cos\theta$	$Y_{1}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta$
		$P_{1}^{1}=-\sin\theta$	$Y_{1}^{1}=-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\exp(i\phi)$
$2$	$\frac{1}{2}(3\cos^{2}\theta-1)$	$P_{2}^{-2}=\frac{1}{8}\sin^{2}\theta$	$Y_{2}^{-2}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{30}{\pi}}\sin^{2}\theta\exp(-2i\phi)$
		$P_{2}^{-1}=\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta$	$Y_{2}^{-1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\sin\theta\cos\theta\exp(-i\phi)$
		$P_{2}^{0}=\frac{1}{2}(3\cos^{2}\theta-1)$	$Y_{2}^{0}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{4\pi}}(3\cos^{2}\theta-1)$
		$P_{2}^{1}=-3\sin\theta\cos\theta$	$Y_{2}^{1}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\sin\theta\cos\theta\exp(i\phi)$
		$P_{2}^{2}=3\sin^{2}\theta$	$Y_{2}^{2}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{30}{\pi}}\sin^{2}\theta\exp(2i\phi)$
$3$	$\frac{1}{2}(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$	$P_{3}^{-3}=\frac{\sin^{3}\theta}{48}$	$Y_{3}^{-3}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi}}\sin^{3}\theta\exp(-3i\phi)$
		$P_{3}^{-2}=\frac{1}{8}\sin^{2}\theta\cos\theta$	$Y_{3}^{-2}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{210}{\pi}}\sin^{2}\theta\cos\theta\exp(-2i\phi)$
		$P_{3}^{-1}=\frac{1}{8}\sin\theta(5\cos^{2}\theta-1)$	$Y_{3}^{-1}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{21}{\pi}}\sin\theta(5\cos^{2}\theta-1)\exp(-% i\phi)$
		$P_{3}^{0}=\frac{1}{2}(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$	$Y_{3}^{0}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{4\pi}}(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$
		$P_{3}^{1}=-\frac{3}{2}(5\cos^{2}\theta-1)\sin\theta$	$Y_{3}^{1}=-\frac{3}{8}\sqrt{\frac{7}{3\pi}}(5\cos^{2}\theta-1)\sin\theta\exp(i\phi)$
		$P_{3}^{2}=15\cos\theta\sin^{2}\theta$	$Y_{3}^{2}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{2\pi}}\cos\theta\sin^{2}\theta\exp(2i\phi)$
		$P_{3}^{3}=-15\sin^{3}\theta$	$Y_{3}^{3}=-\frac{1}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi}}\sin^{3}\theta\exp(3i\phi)$
$4$	$\frac{1}{8}(35\cos^{4}\theta-30\cos^{2}\theta+3)$	$P_{4}^{-4}=\frac{1}{384}\sin^{4}\theta$	$Y_{4}^{-4}=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\sin^{4}\theta\exp(-4i\phi)$
		$P_{4}^{-3}=-\frac{1}{48}\sin^{3}\theta\cos\theta$	$Y_{4}^{-3}=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi}}\sin^{3}\theta\cos\theta\exp(-3i\phi)$
		$P_{4}^{-2}=\frac{1}{48}\sin^{2}\theta(7\cos^{2}\theta-1)$	$Y_{4}^{-2}=\frac{15}{8}\sqrt{\frac{1}{10\pi}}\sin^{2}\theta(7\cos^{2}\theta-1)% \exp(-2i\phi)$
		$P_{4}^{-1}=-\frac{1}{8}\sin\theta\cos\theta(7\cos^{2}\theta-3)$	$Y_{4}^{-1}=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\sin\theta\cos\theta(7\cos^{2}\theta% -3)\exp(-i\phi)$
		$P_{4}^{0}=\frac{1}{8}(35\cos^{4}\theta-30\cos^{2}\theta+3)$	$Y_{4}^{0}=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{1}{\pi}}(35\cos^{4}\theta-30\cos^{2}\theta+3)$
		$P_{4}^{1}=\frac{5}{2}\sin\theta\cos\theta(7\cos^{2}\theta-3)$	$Y_{4}^{1}=-\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\sin\theta\cos\theta(7\cos^{2}\theta% -3)\exp(i\phi)$
		$P_{4}^{2}=\frac{15}{2}\sin^{2}\theta(7\cos^{2}\theta-1)$	$Y_{4}^{2}=\frac{15}{8}\sqrt{\frac{1}{10\pi}}\sin^{2}\theta(7\cos^{2}\theta-1)% \exp(2i\phi)$
		$P_{4}^{3}=105\sin^{3}\theta\cos\theta$	$Y_{4}^{3}=-\frac{3}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi}}\sin^{3}\theta\cos\theta\exp(3i\phi)$
		$P_{4}^{4}=105\sin^{4}\theta$	$Y_{4}^{4}=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{35}{2\pi}}\sin^{4}\theta\exp(4i\phi)$

Refer to caption — Figure 6: いくつかの $\ell$ における球面調和関数の例。

$Y_{l,-m}$ と $Y_{lm}$ の間には、複素共役の関係

Y_{\ell}^{-m}(\theta,\phi)=(-1)^{m}Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)^{\ast}

(E.39)

がある。これは(E.35)と(E.38)から明らかであろう。

球面調和関数の正規直交性

\int_{0}^{\pi}\sin\theta\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\phi\,Y_{\ell% }^{m}(\theta,\phi)^{\ast}Y_{\ell^{\prime}}^{m^{\prime}}(\theta,\phi)=\delta_{% \ell\ell^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}

(E.40)

が得られる。これより、任意の関数 $f(r,\theta,\phi)$ を

f(r,\theta,\phi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell}f_{\ell{m}}(r)Y_{% \ell}^{m}(\theta,\phi)

(E.41)

の如く球面調和関数展開できる。ここで

f_{\ell{m}}(r)=\int_{0}^{\pi}\sin\theta\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2\pi}\mathrm{% d}\phi\,f(r,\theta,\phi)Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)^{\ast}

(E.42)

である。

E.5 球面調和関数の加法定理

3次元球座標系で指定された2つのベクトル $\bm{r}_{1}=(r_{1},\theta_{1},\phi_{1})$ と $\bm{r}_{2}=(r_{2},\theta_{2},\phi_{2})$ に対して、これら2つのベクトルのなす角度を $\gamma$ とおくと

\cos\gamma=\frac{(\bm{r}_{1},\bm{r}_{2})}{|\bm{r}_{1}||\bm{r}_{2}|}=\cos\theta% _{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\cos(\phi_{2}-\phi_{1})

であるが、このときのルジャンドル多項式 $P_{\ell}$ の値について、

P_{\ell}(\cos\gamma)=\frac{4\pi}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^{\ell}{Y_{\ell}^{m}(% \theta_{1},\phi_{1})}{Y_{\ell}^{m}(\theta_{2},\phi_{2})}^{\ast}

(E.43)

が成り立つ。ただし複素共役を意味する ^∗ はどちらの $Y_{\ell}^{m}$ につけてもよい。また、この関係をルジャンドル陪関数で書き直すと、以下のようになる。

	$\displaystyle{P_{\ell}(\cos\gamma)}$	$\displaystyle={P_{\ell}(\cos\theta_{1})}{P_{\ell}(\cos\theta_{2})}+2\sum_{m=1}% ^{\ell}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}{P_{\ell}^{m}(\cos\theta_{1})}{P_{\ell}^{m}(% \cos\theta_{2})}\cos\left[m\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)\right]$
		$\displaystyle=\frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=0}^{\ell}{\overline{P}_{{\ell}m}(\cos% \theta_{1})}{\overline{P}_{{\ell}m}(\cos\theta_{2})}\cos\left[m\left(\phi_{1}-% \phi_{2}\right)\right]$		(E.44)

E.6 水平Laplacianへの分離

Laplacian $\nabla^{2}$ を $r$ に関する微分演算子とそれ以外の演算子 $L^{2}$ に分離しておこう。

\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial{r}}\left(r^{2}\frac{% \partial}{\partial{r}}\right)-\frac{1}{r^{2}}L^{2}

(E.45)

ただし、

L^{2}\equiv-\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin% \theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)-\frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{% \partial^{2}}{\partial\phi^{2}}

(E.46)

である。これより、

L^{2}Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)=\ell(\ell+1)Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)

(E.47)

がいえる。さらに式(E.45)より、

D_{\ell}\equiv\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial{r}}\left(r^{2}\frac{% \partial}{\partial{r}}\right)-\frac{\ell(\ell+1)}{r^{2}}

(E.48)

と定義すれば、

\nabla^{2}f(r)Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)=Y_{\ell}^{m}(\theta,\phi)\,D_{\ell}\,f% (r)

(E.49)

と書ける。

E.7 トロイダル場とポロイダル場

$\nabla\cdot\bm{v}=0$ を満たすようなベクトル場 (solenoidal) は、ポロイダル場 $\bm{S}$

\bm{S}\equiv\nabla\times\left[\nabla\times\left(\frac{\Phi}{r}\bm{r}\right)% \right]=\nabla\times\left[\nabla\left(\frac{\Phi}{r}\right)\times\bm{r}\right]

(E.50)

とトロイダル場 $\bm{T}$

\bm{T}\equiv\nabla\times\left[\frac{\Psi}{r}\bm{r}\right]=\nabla\left(\frac{% \Psi}{r}\right)\times\bm{r}

(E.51)

の和で書くことができる。各々を球座標系の成分で書き下すと、

	$\displaystyle\bm{S}$	$\displaystyle=\left(\frac{1}{r^{2}}L^{2}\Phi,\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}\Phi% }{\partial{r}{\partial\theta}},\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial^{2}\Phi}{% \partial{r}{\partial\phi}}\right)$		(E.52)
	$\displaystyle\bm{T}$	$\displaystyle=\left(0,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial\phi},-% \frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\right)$		(E.53)

となる。さらに $\Phi$ や $\Psi$ を式(E.41)に倣って球面調和関数展開してみよう。こうして得られる展開係数( $r$ の関数でもある)は

	$\displaystyle\bm{S}_{\ell{m}}$	$\displaystyle\equiv\left(\frac{\ell(\ell+1)}{r^{2}}\Phi_{\ell{m}}(r)Y_{\ell}^{% m},\frac{1}{r}\frac{d\Phi_{\ell{m}}}{dr}\frac{\partial{Y_{\ell}^{m}}}{\partial% \theta},\frac{1}{r\sin\theta}\frac{d\Phi_{\ell{m}}}{dr}\frac{\partial{Y_{\ell}% ^{m}}}{\partial\phi}\right)$		(E.54)
	$\displaystyle\bm{T}_{\ell{m}}$	$\displaystyle\equiv\left(0,\frac{\Psi_{\ell{m}}(r)}{r\sin\theta}\frac{\partial% {Y_{\ell}^{m}}}{\partial\phi},-\frac{\Psi_{\ell{m}}(r)}{r}\frac{\partial{Y_{% \ell}^{m}}}{\partial\theta},\right)$		(E.55)

となる。

	$m=0$	$m=1$	$m=2$	$m=3$	$m=4$
$\ell=1$
$\ell=2$
$\ell=3$
$\ell=4$