Appendix D 誤差関数

(February 9, 2022)

この記述は [10] を参考にした。

誤差関数 (error function) とは以下で定義される。

\mathrm{erf}(\eta)=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle\sqrt{\pi}}\int_{0}^{% \eta}\exp(-\eta\prime^{2})d\eta\prime

(D.1)

同様に補誤差関数 (complementary error function) とは

\mathrm{erfc}(\eta)=1-\mathrm{erf}(\eta)

(D.2)

で与えられる。誤差関数はその名や定義式からも想像される通り、正規分布と密接な関係がある。これに加えて以下に示す通り、誤差関数は熱伝導方程式の解を記述する役割もある。この性質から、誤差関数は熱境界層内の温度分布を簡便に計算する際にもよく登場する関数である。

以下では、 $z>0$ に広がる半無限体を考える。時刻 $t=0$ では内部の温度 $T=T_{1}$ であったが、時刻 $t>0$ では表面 $z=0$ の温度が $T=T_{0}$ に瞬間的に変化を加えたとし、その後の内部の温度変化を考える。式で書くと、

	$\displaystyle\frac{\displaystyle\partial T}{\displaystyle\partial t}=\kappa% \frac{\displaystyle\partial^{2}T}{\displaystyle\partial z^{2}}$		(D.3)
	$\displaystyle\begin{array}[]{l}T(t=0,z>0)=T_{1}\\ T(t>0,z=0)=T_{0}\\ T(t>0,z\to\infty)=T_{1}\\ \end{array}$		(D.4)

である。温度 $T$ をしかるべく無次元化した量として、

\theta\equiv\frac{\displaystyle T-T_{1}}{\displaystyle T_{0}-T_{1}}

(D.5)

を導入する。これを用いて方程式を書き直すと、

	$\displaystyle\frac{\displaystyle\partial\theta}{\displaystyle\partial t}=% \kappa\frac{\displaystyle\partial^{2}\theta}{\displaystyle\partial z^{2}}$		(D.6)
	$\displaystyle\begin{array}[]{l}\theta(t=0,z>0)=0\\ \theta(t>0,z=0)=1\\ \theta(t>0,z\to\infty)=0\\ \end{array}$		(D.7)

である。

熱伝導問題の性質を考慮すると、 $\theta$ は $z$ と $t$ の2つの変数に依存するというよりはむしろ、以下で定義される $\eta$ の関数として書くほうが簡単になる。

\eta\equiv\frac{\displaystyle z}{\displaystyle 2\sqrt{\kappa{t}}}

(D.8)

これは、時間 $t$ の間に拡散で熱が伝わる距離 $\sqrt{\kappa{t}}$ と距離 $z$ との比 (の半分) という意味があることに注意。これを用いて式(D.6)及び(D.7)を書き直そう。ここで

	$\displaystyle\frac{\displaystyle\partial\theta}{\displaystyle\partial t}$	$\displaystyle=\frac{\displaystyle d\theta}{\displaystyle d\eta}\frac{% \displaystyle\partial\eta}{\displaystyle\partial t}=\frac{\displaystyle d% \theta}{\displaystyle d\eta}\left(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2t}% \frac{\displaystyle z}{\displaystyle 2\sqrt{\kappa{t}}}\right)=\frac{% \displaystyle d\theta}{\displaystyle d\eta}\left(-\frac{\displaystyle\eta}{% \displaystyle 2t}\right)$
	$\displaystyle\frac{\displaystyle\partial\theta}{\displaystyle\partial z}$	$\displaystyle=\frac{\displaystyle d\theta}{\displaystyle d\eta}\frac{% \displaystyle\partial\eta}{\displaystyle\partial z}=\frac{\displaystyle d% \theta}{\displaystyle d\eta}\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2\sqrt{\kappa% {t}}}$
	$\displaystyle\frac{\displaystyle\partial^{2}\theta}{\displaystyle\partial z^{2}}$	$\displaystyle=\frac{\displaystyle d}{\displaystyle d\eta}\left(\frac{% \displaystyle\partial\theta}{\displaystyle\partial z}\right)\frac{% \displaystyle\partial\eta}{\displaystyle\partial z}=\left(\frac{\displaystyle d% ^{2}\theta}{\displaystyle d\eta^{2}}\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2% \sqrt{\kappa{t}}}\right)\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2\sqrt{\kappa{t}}% }=\frac{\displaystyle d^{2}\theta}{\displaystyle d\eta^{2}}\frac{\displaystyle 1% }{\displaystyle 4\kappa{t}}$

であることを用いると、式(D.6)は

-2{\eta}\frac{\displaystyle d\theta}{\displaystyle d\eta}=\frac{\displaystyle d% ^{2}\theta}{\displaystyle d\eta^{2}}

(D.9)

となり、式(D.7)は

\theta(\eta\to\infty)=0,\quad\theta(\eta=0)=1

(D.10)

と書き直せる。

式(D.9)を解いてみよう。その際、まず $\phi\equiv\frac{\displaystyle d\theta}{\displaystyle d\eta}$ と置いてやると

-2\eta\phi=\frac{\displaystyle d\phi}{\displaystyle d\eta}\quad\Rightarrow% \quad-2{\eta}d{\eta}=\frac{\displaystyle d\phi}{\displaystyle\phi}

(D.11)

これを $\eta$ で積分して

-\eta^{2}=\ln\phi-\ln{c_{1}}\quad\Rightarrow\quad\phi={c_{1}}\exp(-\eta^{2})=% \frac{\displaystyle d\theta}{\displaystyle d\eta}

(D.12)

を得る。ここで ${c_{1}}$ は積分定数である。これをもう一度 $\eta$ で積分して

	$\displaystyle\theta$	$\displaystyle=\theta(\eta=0)+{c_{1}}\int_{0}^{\eta}\exp(-\eta\prime^{2})d\eta\prime$
		$\displaystyle={c_{1}}\int_{0}^{\eta}\exp(-\eta\prime^{2})d\eta\prime+1$		(D.13)

を得る。積分定数 ${c_{1}}$ を決めるために、 $\eta\to\infty$ の極限をとって、

\displaystyle\theta(\eta\to\infty)=0

\displaystyle={c_{1}}\int_{0}^{\infty}\exp(-\eta\prime^{2})d\eta\prime+1

(D.14)

であるが、よく知られたGauss積分の公式より

\int_{0}^{\infty}\exp(-\eta\prime^{2})d\eta\prime=\frac{\displaystyle 1}{% \displaystyle 2}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-\eta\prime^{2})d\eta\prime=\frac{% \displaystyle\sqrt{\pi}}{\displaystyle 2}

(D.15)

であるから結局、

\displaystyle\theta

\displaystyle=1-\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\eta}% \exp(-\eta\prime^{2})d\eta\prime=\mathrm{erfc}(\eta)

(D.16)

を得る。

図5に誤差関数 $\mathrm{erf}(\eta)$ 及び補誤差関数 $\mathrm{erfc}(\eta)$ のグラフを示しておく。