マントル対流数値シミュレーション概論 A マントル対流に必要な熱力学 C 高温高圧下での物質の弾性的・熱的性質

Appendix B 非デカルト座標系でのマントル対流の基礎方程式系

(February 9, 2022)

以下では簡単のため、Boussinesq 近似のもとでの基礎方程式を導出する。

B.1 一般座標系でのマントル対流の方程式系

解くべき方程式を

$\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=$	$\displaystyle-\nabla\cdot\left(\bm{v}T-\kappa\nabla T\right)$	(B.1)
$\displaystyle 0=$	$\displaystyle\nabla\cdot\bm{v}$	(B.2)
$\displaystyle\bm{0}=$	$\displaystyle\bm{\tau}\cdot\nabla+\bm{b}$	(B.3)
$\displaystyle\bm{\tau}=$	$\displaystyle-p\bm{I}+2\eta\bm{D}$	(B.4)
$\displaystyle\bm{D}\equiv$	$\displaystyle\frac{1}{2}\left(\nabla\otimes\bm{v}+\bm{v}\otimes\nabla\right)$	(B.5)

とする。ここで $\bm{I}$ は単位テンソルである。また上記から明らかなように、応力テンソル $\bm{\tau}$ は対称テンソルであり、 $\bm{\tau}\cdot\nabla=\nabla\cdot\bm{\tau}$ である。以下、ベクトルやテンソルは極力反変成分を使って書くことにする。

まず質量保存の式(B.2)を書き直す。一般座標系では

\nabla=\left\{\begin{array}[]{l}\frac{\partial}{\partial x^{m}}\bm{g}^{m}\\ \frac{\partial}{\partial x^{m}}g^{ml}\bm{g}_{l}\end{array}\right.

(B.6)

となることを使うと、

$\displaystyle 0=$	$\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial x^{m}}\bm{g}^{m}\right)\cdot\left(% v^{k}\bm{g}_{k}\right)=\bm{g}^{m}\cdot\left(\frac{\partial v^{k}}{\partial x^{% m}}\bm{g}_{k}+v^{k}\frac{\partial\bm{g}_{k}}{\partial x^{m}}\right)$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\bm{g}^{m}\cdot\left(\frac{\partial v^{k}}{\partial x^{m}}\bm{g}_% {k}+v^{k}\Gamma_{km}^{l}\bm{g}_{l}\right)=\frac{\partial v^{k}}{\partial x^{m}% }(\bm{g}^{m}\cdot\bm{g}_{k})+v^{k}\Gamma_{km}^{l}(\bm{g}^{m}\cdot\bm{g}_{l})$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\partial v^{k}}{\partial x^{k}}+v^{k}\Gamma_{km}^{m}$	(B.7)

となる。この手順は要するに、ベクトルの反変成分の共変導関数を求める手順と同じである。

熱輸送方程式(B.1)も同様にできる。簡単のために熱流束ベクトル

\bm{f}\equiv\bm{v}T-\kappa\nabla T=v^{l}T\bm{g}_{l}-\kappa g^{ml}\frac{% \partial T}{\partial x^{m}}\bm{g}_{l}=\left(v^{i}T-\kappa g^{mi}\frac{\partial T% }{\partial x^{m}}\right)\bm{g}_{i}\equiv f^{i}\bm{g}_{i}

(B.8)

を定義しておけば、

\frac{\partial T}{\partial t}=-\left(\frac{\partial f^{k}}{\partial x^{k}}+f^{% k}\Gamma_{km}^{m}\right)

(B.9)

とするだけでよい。

次に運動量保存の式(B.3)を考える。そのうち応力テンソルの発散をどう書けばよいかを考えてみる。応力テンソルを反変成分で書いてみて、その発散をとると、

$\displaystyle\bm{\tau}\cdot{\nabla}=$	$\displaystyle\left(\tau^{ij}\bm{g}_{i}\otimes\bm{g}_{j}\right)\cdot\left(\frac% {\partial}{\partial x^{m}}\bm{g}^{m}\right)$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\left(\frac{\partial\tau^{ij}}{\partial x^{m}}\bm{g}_{i}\otimes% \bm{g}_{j}+\tau^{ij}\frac{\partial\bm{g}_{i}}{\partial x^{m}}\otimes\bm{g}_{j}% +\tau^{ij}\bm{g}_{i}\otimes\frac{\partial\bm{g}_{j}}{\partial x^{m}}\right)% \cdot\bm{g}^{m}$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\left(\frac{\partial\tau^{ij}}{\partial x^{m}}\bm{g}_{i}\otimes% \bm{g}_{j}+\tau^{ij}\Gamma^{l}_{im}\bm{g}_{l}\otimes\bm{g}_{j}+\tau^{ij}\bm{g}% _{i}\otimes\Gamma_{jm}^{l}\bm{g}_{l}\right)\cdot\bm{g}^{m}$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\partial\tau^{ij}}{\partial x^{m}}\delta_{j}^{m}\bm{g}_{i}+% \tau^{ij}\Gamma^{l}_{im}\delta_{j}^{m}\bm{g}_{l}+\tau^{ij}\bm{g}_{i}\Gamma_{jm% }^{l}\delta_{l}^{m}$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\left(\frac{\partial\tau^{ij}}{\partial x^{j}}+\tau^{kj}\Gamma^{i% }_{kj}+\tau^{ij}\Gamma^{k}_{jk}\right)\bm{g}_{i}$	(B.10)

となる。これも実は2階のテンソルの反変成分の共変導関数を求める手順と同じ。これを代入すれば結局

\left(\frac{\partial\tau^{ij}}{\partial x^{j}}+\tau^{kj}\Gamma^{i}_{kj}+\tau^{% ij}\Gamma^{k}_{jk}\right)\bm{g}_{i}+\bm{b}=0

(B.11)

を得る。

最後に構成方程式(B.4)と(B.5)を考える。まず、応力テンソル $\bm{\tau}$ の反変成分を書き下すと、

	$\displaystyle\bm{\tau}=$	$\displaystyle-p\bm{I}+2\eta\bm{D}=-pg^{ij}\bm{g}_{i}\otimes\bm{g}_{j}+2\eta D^% {ij}\bm{g}_{i}\otimes\bm{g}_{j}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle(-g^{ij}p+2\eta D^{ij})\bm{g}_{i}\otimes\bm{g}_{j}\equiv\tau^{ij}% \bm{g}_{i}\otimes\bm{g}_{j}$		(B.12)

である。次に歪速度テンソル(変形速度テンソル) $\bm{D}$ の反変成分の表現を作ってみると、

$\displaystyle 2\bm{D}=$	$\displaystyle\nabla\otimes\bm{v}+\bm{v}\otimes\nabla=\left(\frac{\partial}{% \partial x^{m}}\bm{g}^{m}\right)\otimes\left(v^{i}\bm{g}_{i}\right)+\left(v^{i% }\bm{g}_{i}\right)\otimes\left(\frac{\partial}{\partial x^{m}}\bm{g}^{m}\right)$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\partial v^{i}}{\partial x^{m}}\bm{g}^{m}\otimes\bm{g}_{i}+% v^{i}\bm{g}^{m}\otimes\frac{\partial\bm{g}_{i}}{\partial x^{m}}+\frac{\partial v% ^{i}}{\partial x^{m}}\bm{g}_{i}\otimes\bm{g}^{m}+v^{i}\frac{\partial\bm{g}_{i}% }{\partial x^{m}}\otimes\bm{g}^{m}$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\partial v^{i}}{\partial x^{m}}\bm{g}^{m}\otimes\bm{g}_{i}+% v^{i}\bm{g}^{m}\otimes\Gamma^{l}_{im}\bm{g}_{l}+\frac{\partial v^{i}}{\partial x% ^{m}}\bm{g}_{i}\otimes\bm{g}^{m}+v^{i}\Gamma^{l}_{im}\bm{g}_{l}\otimes\bm{g}^{m}$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\left(\frac{\partial v^{i}}{\partial x^{m}}+v^{k}\Gamma^{i}_{km}% \right)\bm{g}^{m}\otimes\bm{g}_{i}+\left(\frac{\partial v^{i}}{\partial x^{m}}% +v^{k}\Gamma^{i}_{km}\right)\bm{g}_{i}\otimes\bm{g}^{m}$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\left(\frac{\partial v^{i}}{\partial x^{m}}+v^{k}\Gamma^{i}_{km}% \right)\left(g^{ml}\bm{g}_{l}\right)\otimes\bm{g}_{i}+\left(\frac{\partial v^{% i}}{\partial x^{m}}+v^{k}\Gamma^{i}_{km}\right)\bm{g}_{i}\otimes\left(g^{ml}% \bm{g}_{l}\right)$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\left[g^{mi}\left(\frac{\partial v^{j}}{\partial x^{m}}+v^{k}% \Gamma^{j}_{km}\right)+g^{mj}\left(\frac{\partial v^{i}}{\partial x^{m}}+v^{k}% \Gamma^{i}_{km}\right)\right]\bm{g}_{i}\otimes\bm{g}_{j}\equiv 2D^{ij}\bm{g}_{% i}\otimes\bm{g}_{j}$	(B.13)

を得る。上式の $(\,)$ 内はベクトル $\bm{v}$ の反変成分の共変導関数であり、反変1階、共変1階の混合成分である。それらと計量テンソルの反変成分との縮約をとることにより、2階のテンソル $\bm{D}$ の反変成分を求めることができる。

見た目はややこしいが、これで一般座標系での基礎方程式が書けたことになる。

B.2 (正規)直交曲線座標系でのマントル対流の方程式系

先に求めた一般座標系での表式に、正規直交曲線座標系の条件を加えて、式を簡略化する。共変基底ベクトル $\bm{g}_{i}$ から正規化された局所直交基底 $\bm{a}_{i}$ を

\bm{a}_{i}\equiv\frac{1}{h_{i}}\bm{g}_{i}=h_{i}\bm{g}^{i}

(B.14)

と定義する。ここで $h_{i}\equiv\sqrt{|\bm{g}_{i}|^{2}}$ は共変基底ベクトル $\bm{g}_{i}$ の長さである。さらに、基底 $\bm{a}_{i}$ を用いて表示したベクトルやテンソルの成分を $\hat{v}_{i}$ の如く、 $\hat{\,}$ で表わすことにすると、これらと(一般座標系で書いた)反変成分との関係は

	$\displaystyle v^{i}$	$\displaystyle=\bm{v}\cdot\bm{g}^{i}=(\hat{v}_{j}\bm{a}_{j})\cdot\bm{g}^{i}=% \left(\hat{v}_{j}\frac{1}{h_{j}}\bm{g}_{j}\right)\cdot\bm{g}^{i}=\frac{\hat{v}% _{j}}{h_{j}}\delta_{j}^{i}=\frac{\hat{v}_{i}}{h_{i}}$		(B.15)
	$\displaystyle D^{ij}$	$\displaystyle=\bm{g}^{i}\cdot\bm{D}\cdot\bm{g}^{j}=\bm{g}^{i}\cdot\left(\hat{D% }_{kl}\bm{a}_{k}\otimes\bm{a}_{l}\right)\cdot\bm{g}^{j}=\bm{g}^{i}\cdot\left(% \hat{D}_{kl}\frac{1}{h_{k}h_{l}}\bm{g}_{k}\otimes\bm{g}_{l}\right)\cdot\bm{g}^% {j}=\frac{\hat{D}_{kl}}{h_{k}h_{l}}\delta^{i}_{k}\delta^{j}_{l}=\frac{\hat{D}_% {ij}}{h_{i}h_{j}}$		(B.16)

と与えられる。即ち、正規化された局所直交基底での式を書き下す場合には、Christoffel記号 $\Gamma^{n}_{ij}$ の書き直しに加え、ベクトルやテンソルの成分の表式も書き直す必要がある。

まず質量保存の式は

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\frac{\partial v^{k}}{\partial x^{k}}+v^{k}\Gamma_{km}^{m}=\frac% {\partial}{\partial x^{k}}\left(\frac{\hat{v}_{k}}{h_{h}}\right)+\frac{\hat{v}% _{k}}{h_{k}}\left(\frac{1}{h_{m}}\frac{\partial h_{m}}{\partial x^{k}}\delta_{% mm}+\frac{1}{h_{m}}\frac{\partial h_{m}}{\partial x^{m}}\delta_{km}-\frac{h_{k% }}{h_{m}^{2}}\frac{\partial h_{k}}{\partial x^{m}}\delta_{km}\right)$
	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial x^{k}}\left(\frac{\hat{v}_{k}}{h_{h}}% \right)+\frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\frac{1}{h_{m}}\frac{\partial h_{m}}{\partial x% ^{k}}=\frac{\partial}{\partial x^{k}}\left(\frac{\hat{v}_{k}}{h_{h}}\right)+% \frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial h_{1}h_{2}h_{% 3}}{\partial x^{k}}$
	$\displaystyle=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial}{\partial x^{k}}\left(h_% {1}h_{2}h_{3}\frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\right)$	(B.17)

となる。これはよくある、正規直交曲線座標系でのベクトル場の発散の式と同じ。

熱輸送方程式については、熱流束ベクトル $\bm{f}$ の $\bm{a}_{i}$ による成分を

\hat{f}_{i}=h_{i}f^{i}=h_{i}\left(\frac{\hat{v}_{i}}{h_{i}}T-\kappa\frac{1}{h_% {i}^{2}}\frac{\partial T}{\partial x^{i}}\right)=\hat{v}_{i}T-\kappa\frac{1}{h% _{i}}\frac{\partial T}{\partial x^{i}}

(B.18)

と定義しておけば

\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}

\displaystyle=-\left(\frac{\partial f^{k}}{\partial x^{k}}+f^{k}\Gamma_{km}^{m% }\right)=-\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial}{\partial x^{k}}\left(h_{1}h% _{2}h_{3}\frac{\hat{f}_{k}}{h_{k}}\right)

(B.19)

と与えられる。

次に構成方程式のうち、応力テンソル $\bm{\tau}$ の基底 $\bm{a}_{i}$ による表現は

\displaystyle\hat{\tau}_{ij}=h_{i}h_{j}\tau^{ij}

\displaystyle=h_{i}h_{j}\left(-\frac{1}{h_{i}h_{j}}\delta_{ij}p+2\eta\frac{% \hat{D}_{ij}}{h_{i}h_{j}}\right)=-p\delta_{ij}+2\eta\hat{D}_{ij}

(B.20)

である。次に歪速度テンソル(変形速度テンソル) $\bm{D}$ の表現は

$\displaystyle 2\hat{D}_{ij}$	$\displaystyle=h_{i}h_{j}2D^{ij}=h_{i}h_{j}\left[g^{mi}\left(\frac{\partial v^{% j}}{\partial x^{m}}+v^{k}\Gamma^{j}_{km}\right)+g^{mj}\left(\frac{\partial v^{% i}}{\partial x^{m}}+v^{k}\Gamma^{i}_{km}\right)\right]$
	$\displaystyle=\frac{h_{j}}{h_{i}}\left[\frac{\partial}{\partial x^{i}}\left(% \frac{\hat{v}_{j}}{h_{j}}\right)+\frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\left(\frac{1}{h_{j}% }\frac{\partial h_{j}}{\partial x^{i}}\delta_{kj}+\frac{1}{h_{j}}\frac{% \partial h_{j}}{\partial x^{k}}\delta_{ij}-\frac{h_{i}}{h_{j}^{2}}\frac{% \partial h_{i}}{\partial x^{j}}\delta_{ik}\right)\right]$
	$\displaystyle+\frac{h_{i}}{h_{j}}\left[\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(% \frac{\hat{v}_{i}}{h_{i}}\right)+\frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\left(\frac{1}{h_{i}% }\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{k}}\delta_{ji}+\frac{1}{h_{i}}\frac{% \partial h_{i}}{\partial x^{j}}\delta_{ki}-\frac{h_{k}}{h_{i}^{2}}\frac{% \partial h_{k}}{\partial x^{i}}\delta_{kj}\right)\right]$
	$\displaystyle=\frac{h_{j}}{h_{i}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\left(\frac{% \hat{v}_{j}}{h_{j}}\right)+\frac{1}{h_{i}}\frac{\hat{v}_{j}}{h_{j}}\frac{% \partial h_{j}}{\partial x^{i}}+\frac{1}{h_{i}}\frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\frac{% \partial h_{j}}{\partial x^{k}}\delta_{ij}-\frac{1}{h_{j}}\frac{\hat{v}_{i}}{h% _{i}}\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{j}}$
	$\displaystyle+\frac{h_{i}}{h_{j}}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(\frac{% \hat{v}_{i}}{h_{i}}\right)+\frac{1}{h_{j}}\frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\frac{% \partial h_{i}}{\partial x^{k}}\delta_{ij}+\frac{1}{h_{j}}\frac{\hat{v}_{i}}{h% _{i}}\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{j}}-\frac{1}{h_{i}}\frac{\hat{v}_{j}}{h% _{j}}\frac{\partial h_{j}}{\partial x^{i}}$
	$\displaystyle=\frac{h_{j}}{h_{i}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\left(\frac{% \hat{v}_{j}}{h_{j}}\right)+\frac{1}{h_{i}}\frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\frac{% \partial h_{j}}{\partial x^{k}}\delta_{ij}+\frac{h_{i}}{h_{j}}\frac{\partial}{% \partial x^{j}}\left(\frac{\hat{v}_{i}}{h_{i}}\right)+\frac{1}{h_{j}}\frac{% \hat{v}_{k}}{h_{k}}\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{k}}\delta_{ij}$
	$\displaystyle=\frac{h_{j}}{h_{i}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\left(\frac{% \hat{v}_{j}}{h_{j}}\right)+\frac{h_{i}}{h_{j}}\frac{\partial}{\partial x^{j}}% \left(\frac{\hat{v}_{i}}{h_{i}}\right)+\frac{\hat{v}_{k}}{h_{k}}\frac{2}{h_{i}% }\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{k}}\delta_{ij}$	(B.21)

最後に運動量保存の式を基底 $\bm{a}_{i}$ で書き直すと、

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\left(\frac{\partial\tau^{ij}}{\partial x^{j}}+\tau^{kj}\Gamma^{% i}_{kj}+\tau^{ij}\Gamma^{k}_{jk}\right)\bm{g}_{i}+\bm{b}$
		$\displaystyle=\left[\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(\frac{\hat{\tau}_{ij}% }{h_{i}h_{j}}\right)+\frac{\hat{\tau}_{kj}}{h_{k}h_{j}}\Gamma^{i}_{kj}+\frac{% \hat{\tau}_{ij}}{h_{i}h_{j}}\Gamma^{k}_{jk}\right]h_{i}\bm{a}_{i}+\hat{b}_{i}% \bm{a}_{i}$		(B.22)

となる。これより $i$ 方向の運動量保存の式は

	$\displaystyle-\hat{b}_{i}$	$\displaystyle=h_{i}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(\frac{\hat{\tau}_{ij}}% {h_{i}h_{j}}\right)+h_{i}\frac{\hat{\tau}_{kj}}{h_{k}h_{j}}\Gamma^{i}_{kj}+h_{% i}\frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{i}h_{j}}\Gamma^{k}_{jk}$
		$\displaystyle=h_{i}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(\frac{\hat{\tau}_{ij}}% {h_{i}h_{j}}\right)+h_{i}\frac{\hat{\tau}_{kj}}{h_{k}h_{j}}\left(\frac{1}{h_{i% }}\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{k}}\delta_{ji}+\frac{1}{h_{i}}\frac{% \partial h_{i}}{\partial x^{j}}\delta_{ki}-\frac{h_{k}}{h_{i}^{2}}\frac{% \partial h_{k}}{\partial x^{i}}\delta_{kj}\right)$
		$\displaystyle+h_{i}\frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{i}h_{j}}\left(\frac{1}{h_{k}}% \frac{\partial h_{k}}{\partial x^{j}}\delta_{kk}+\frac{1}{h_{k}}\frac{\partial h% _{k}}{\partial x^{k}}\delta_{jk}-\frac{h_{k}}{h_{k}^{2}}\frac{\partial h_{k}}{% \partial x^{k}}\delta_{kj}\right)$
		$\displaystyle=h_{i}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(\frac{\hat{\tau}_{ij}}% {h_{i}h_{j}}\right)+\frac{\hat{\tau}_{ji}}{h_{j}h_{i}}\frac{\partial h_{i}}{% \partial x^{j}}+\frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{i}h_{j}}\frac{\partial h_{i}}{% \partial x^{j}}-\frac{\hat{\tau}_{jj}}{h_{i}h_{j}}\frac{\partial h_{j}}{% \partial x^{i}}+\frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{j}}\frac{1}{h_{k}}\frac{\partial h_{% k}}{\partial x^{j}}$
		$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(\frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{j% }}\right)-\frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{i}h_{j}}\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{% j}}+\frac{\hat{\tau}_{ji}}{h_{j}h_{i}}\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{j}}+% \frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{j}}\left[\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial h_{i}}{% \partial x^{j}}+\frac{1}{h_{k}}\frac{\partial h_{k}}{\partial x^{j}}\right]-% \frac{\hat{\tau}_{jj}}{h_{i}h_{j}}\frac{\partial h_{j}}{\partial x^{i}}$
		$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(\frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{j% }}\right)+\frac{\hat{\tau}_{ij}}{h_{j}}\frac{1}{h_{i}h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{% \partial(h_{i}h_{1}h_{2}h_{3})}{\partial x^{j}}-\frac{\hat{\tau}_{jj}}{h_{i}h_% {j}}\frac{\partial h_{j}}{\partial x^{i}}$
		$\displaystyle=\frac{1}{h_{i}h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial}{\partial x^{j}}% \left(h_{1}h_{2}h_{3}\frac{h_{i}}{h_{j}}\hat{\tau}_{ij}\right)-\frac{\hat{\tau% }_{jj}}{h_{i}h_{j}}\frac{\partial h_{j}}{\partial x^{i}}$

ただし、応力テンソル $\bm{\tau}$ の対称性 ( $\hat{\tau}_{ij}=\hat{\tau}_{ji}$ )を用いた。よって、

\frac{1}{h_{i}h_{1}h_{2}h_{3}}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left(h_{1}h_{2}h% _{3}\frac{h_{i}}{h_{j}}\hat{\tau}_{ij}\right)-\frac{\hat{\tau}_{jj}}{h_{i}h_{j% }}\frac{\partial h_{j}}{\partial x^{i}}+\hat{b}_{i}=0

(B.23)

B.2.1 てっとり早く知りたい方のためのまとめ

3次元球座標系の場合の基礎方程式系

$x^{1}=r$ 、 $x^{2}=\theta$ 、 $x^{3}=\phi$ とする。この場合 $h^{1}=1$ 、 $h^{2}=r$ 、 $h^{3}=r\sin\theta$ となるので、これを代入して整理すると以下のようになる。

•

熱輸送方程式系

	$\displaystyle f_{r}$	$\displaystyle=v_{r}\,T-\kappa\frac{\partial T}{\partial r}$
	$\displaystyle f_{\theta}$	$\displaystyle=v_{\theta}\,T-\kappa\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial\theta}$
	$\displaystyle f_{\phi}$	$\displaystyle=v_{\phi}\,T-\kappa\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{% \partial\phi}$
	$\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}$	$\displaystyle=-\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left% (r^{2}\sin\theta\,f_{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(r\sin% \theta\,f_{\theta}\right)+\frac{\partial}{\partial\phi}\left(r\,f_{\phi}\right% )\right]$

•

質量保存則

$0=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\sin% \theta\,v_{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(r\sin\theta\,v_{% \theta}\right)+\frac{\partial}{\partial\phi}\left(r\,v_{\phi}\right)\right]$

•

歪速度テンソルの定義

	$\displaystyle D_{rr}$	$\displaystyle=\frac{\partial v_{r}}{\partial r}$
	$\displaystyle D_{\theta\theta}$	$\displaystyle=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}+v_{r% }\right]$
	$\displaystyle D_{\phi\phi}$	$\displaystyle=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial v_{\phi}}{\partial\phi% }+\sin\theta\,v_{r}+\cos\theta\,v_{\theta}\right]$
	$\displaystyle D_{r\theta}=D_{\theta r}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left[r\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{v_{% \theta}}{r}\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial v_{r}}{\partial\theta}\right]$
	$\displaystyle D_{r\phi}=D_{\phi r}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left[r\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{v_{\phi% }}{r}\right)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_{r}}{\partial\phi}\right]$
	$\displaystyle D_{\theta\phi}=D_{\phi\theta}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial% \theta}\left(\frac{v_{\phi}}{\sin\theta}\right)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{% \partial v_{\theta}}{\partial\phi}\right]$

•

偏差応力テンソルの定義

	$\displaystyle\tau_{rr}$	$\displaystyle=2\eta\left[D_{rr}-\frac{1}{3}\left(D_{rr}+D_{\theta\theta}+D_{% \phi\phi}\right)\right]$
	$\displaystyle\tau_{\theta\theta}$	$\displaystyle=2\eta\left[D_{\theta\theta}-\frac{1}{3}\left(D_{rr}+D_{\theta% \theta}+D_{\phi\phi}\right)\right]$
	$\displaystyle\tau_{\phi\phi}$	$\displaystyle=2\eta\left[D_{\phi\phi}-\frac{1}{3}\left(D_{rr}+D_{\theta\theta}% +D_{\phi\phi}\right)\right]$
	$\displaystyle\tau_{r\theta}=\tau_{\theta r}$	$\displaystyle=2\eta D_{r\theta}$
	$\displaystyle\tau_{r\phi}=\tau_{\phi r}$	$\displaystyle=2\eta D_{r\phi}$
	$\displaystyle\tau_{\theta\phi}=\tau_{\phi\theta}$	$\displaystyle=2\eta D_{\theta\phi}$

•

$r$ 方向の運動方程式

$\displaystyle-\frac{\partial p}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{% \partial r}\left(r^{2}\tau_{rr}\right)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{% \partial\theta}\left(\sin\theta\tau_{r\theta}\right)+\frac{1}{r\sin\theta}% \frac{\partial\tau_{r\phi}}{\partial\phi}-\frac{\tau_{\theta\theta}}{r}-\frac{% \tau_{\phi\phi}}{r}+b_{r}=0$
•

$\theta$ 方向の運動方程式

$\displaystyle-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\frac{1}{r^{2}}% \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\tau_{\theta r}\right)+\frac{1}{r\sin% \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\tau_{\theta\theta}% \right)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\tau_{\theta\phi}}{\partial\phi}+% \frac{\tau_{\theta r}}{r}-\frac{\cot\theta\tau_{\phi\phi}}{r}+b_{\theta}=0$

•

$\phi$ 方向の運動方程式

\displaystyle-\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\frac{1}{r^% {2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\tau_{\phi r}\right)+\frac{1}{r\sin% \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\tau_{\phi\theta}\right)% +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\tau_{\phi\phi}}{\partial\phi}+\frac{\tau_% {\phi r}}{r}+\frac{\cot\theta\tau_{\phi\theta}}{r}+b_{\phi}=0

3次元円筒座標系の場合の基礎方程式系

$x^{1}=r$ 、 $x^{2}=\theta$ 、 $x^{3}=z$ とする。この場合 $h^{1}=1$ 、 $h^{2}=r$ 、 $h^{3}=1$ となるので、これを代入して整理すると以下のようになる。

•

熱輸送方程式系

	$\displaystyle f_{r}$	$\displaystyle=v_{r}\,T-\kappa\frac{\partial T}{\partial r}$
	$\displaystyle f_{\theta}$	$\displaystyle=v_{\theta}\,T-\kappa\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial\theta}$
	$\displaystyle f_{z}$	$\displaystyle=v_{z}\,T-\kappa\frac{\partial T}{\partial z}$
	$\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}$	$\displaystyle=-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\,f_{r}\right)-% \frac{1}{r}\frac{\partial f_{\theta}}{\partial\theta}-\frac{\partial f_{z}}{% \partial z}$

•

質量保存則

$0=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\,v_{r}\right)+\frac{1}{r}\frac% {\partial v_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}$

•

歪速度テンソルの定義

	$\displaystyle D_{rr}$	$\displaystyle=\frac{\partial v_{r}}{\partial r}$
	$\displaystyle D_{\theta\theta}$	$\displaystyle=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial v_{\theta}}{\partial\theta}+v_{r% }\right]$
	$\displaystyle D_{zz}$	$\displaystyle=\frac{\partial v_{z}}{\partial z}$
	$\displaystyle D_{r\theta}=D_{\theta r}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left[r\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{v_{% \theta}}{r}\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial v_{r}}{\partial\theta}\right]$
	$\displaystyle D_{rz}=D_{zr}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_{z}}{\partial r}+\frac{% \partial v_{r}}{\partial z}\right)$
	$\displaystyle D_{\theta{z}}=D_{z\theta}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{r}\frac{\partial v_{z}}{\partial\theta% }+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial z}\right]$

•

偏差応力テンソルの定義

	$\displaystyle\tau_{rr}$	$\displaystyle=2\eta\left[D_{rr}-\frac{1}{3}\left(D_{rr}+D_{\theta\theta}+D_{zz% }\right)\right]$
	$\displaystyle\tau_{\theta\theta}$	$\displaystyle=2\eta\left[D_{\theta\theta}-\frac{1}{3}\left(D_{rr}+D_{\theta% \theta}+D_{zz}\right)\right]$
	$\displaystyle\tau_{zz}$	$\displaystyle=2\eta\left[D_{zz}-\frac{1}{3}\left(D_{rr}+D_{\theta\theta}+D_{zz% }\right)\right]$
	$\displaystyle\tau_{r\theta}=\tau_{\theta r}$	$\displaystyle=2\eta D_{r\theta}$
	$\displaystyle\tau_{rz}=\tau_{zr}$	$\displaystyle=2\eta D_{rz}$
	$\displaystyle\tau_{\theta{z}}=\tau_{z\theta}$	$\displaystyle=2\eta D_{\theta{z}}$

•

$r$ 方向の運動方程式

$\displaystyle-\frac{\partial{p}}{\partial{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{% \partial{r}}\left(r\tau_{rr}\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{r\theta}}{% \partial\theta}+\frac{\partial\tau_{rz}}{\partial{z}}-\frac{\tau_{\theta\theta% }}{r}+b_{r}=0$
•

$\theta$ 方向の運動方程式

$\displaystyle-\frac{1}{r}\frac{\partial{p}}{\partial\theta}+\frac{1}{r^{2}}% \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\tau_{\theta{r}}\right)+\frac{1}{r}\frac% {\partial\tau_{\theta\theta}}{\partial\theta}+\frac{\partial\tau_{\theta{z}}}{% \partial z}+b_{\theta}=0$
•

$z$ 方向の運動方程式

$\displaystyle-\frac{\partial{p}}{\partial{z}}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{% \partial r}\left(r\tau_{zr}\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{z\theta}}{% \partial\theta}+\frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}+b_{z}=0$